Temario

INTRODUCCIÓN

A mediados del mes de abril de 2014, a media noche, se pudo observar desde todo el país un eclipse total de Luna similar al que observó hace muchísimos siglos Aristarco de Samos. Se le dio mucho espacio en los medios de comunicación, pero para nada se mencionó la increíble hazaña del gran Aristarco, quien con sus observaciones y razonamientos determinó por primera vez el tamaño de la Luna y su distancia a la Tierra. De haberlo mencionado, seguramente habría despertado la curiosidad de algunas personas para indagar al respecto, pero no se dijo nada, así es que ustedes son de los pocos afortunados que están en el secreto. Como han podido comprobar, las observaciones y razonamientos de Aristarco son una obra maestra digna de contarse una y otra vez. En estas olimpiadas será la cuarta y última vez porque este año el tema ya pasó al final de la fila.

Para estas XIX olimpiadas les preparamos un tema de actualidad relacionado con nuevas tecnologías como los teléfonos celulares y el sistema de posicionamiento global o GPS por sus siglas en inglés. Utilizaremos estas siglas para referirnos a este sistema porque así se le conoce comúnmente en todo el mundo. El tema en sí es el método que se utiliza para localizar un objeto en el espacio desde puntos alejados, como la triangulación, la cual dicho sea de paso ya era conocida por los antiguos griegos incluido Aristarco. El método, conocido como trilateración, se utiliza para localizar sismos y rayos además de celulares y receptores de GPS. Veremos detalles de cómo se utiliza el método en cada caso. Aprenderán incluso algunas consecuencias de las teorías de la relatividad de Einstein, de las dos, de la especial y de la general, las cuales pasaron de ser consideradas por el público como ciencia ficción para convertirse en una realidad, particularmente para quienes utilizan GPS, aunque no se den cuenta.

TRILATERACIÓN: PLANTEAMIENTO GEOMÉTRICO

La trilateración es una técnica geométrica para determinar la posición de un objeto conociendo su distancia a tres puntos de referencia. A diferencia de la más conocida técnica de triangulación, en la que se miden ángulos y distancias, en la trilateración se utilizan sólo distancias como se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Planteamientos geométrico y analítico de la trilateración. El objetivo es localizar el punto (x,y) conociendo su distancia a tres puntos cuya localización se conoce.

Veamos primero el planteamiento geométrico. Si solamente conocemos la distancia del objeto al punto (x1,y1), el objeto se podría encontrar en cualquier lugar alrededor del círculo de radio d1. Si ahora consideramos que también se sabe la distancia del objeto al punto (x2,y2) entonces las cosas empiezan a mejorar. El objeto podría encontrarse ya no en cualquier lugar alrededor del primer círculo. Tampoco podría encontrarse en cualquier lugar alrededor del segundo círculo. Solamente hay dos puntos en los dos círculos que cumplen con las dos condiciones de distancia. Estos dos puntos están definidos por las intersecciones del los círculos. Uno de los puntos debe ser la posición del objeto, pero no hay manera de saber cuál de los dos es el verdadero. Para determinar cuál es el verdadero necesitamos más información. Otro círculo que nos diga a qué distancia está el objeto de un tercer punto nos permitirá escoger entre las dos posibilidades. El tercer círculo centrado en (x3,y3) no puede sino interceptar a los otros dos en la posición del objeto, porque este punto es el único que está en los tres círculos y por lo tanto cumple con las tres condiciones de distancia.

TRILATERACIÓN: PLANTEAMIENTO ANALÍTICO

Los argumentos geométricos anteriores eran conocidos por los antiguos griegos hace más de dos mil años. Para resolverlos sólo necesitaban regla y compás. No fue sino hasta el siglo XVII cuando René Descartes descubrió la manera de resolver este tipo de problemas con fórmulas de álgebra y así fundó la geometría analítica. Descartes inventó los ejes de coordenadas y mostró cómo las fórmulas de álgebra podían representar figuras geométricas como rectas, círculos, etc., así como encontrar sin hacer dibujos dónde se interceptan. En el caso que nos ocupa se trata de tres ecuaciones simultáneas según se muestra en la Figura 1 como planteamiento analítico. Cada una es la representación de uno de los círculos mostrados en la parte de arriba. Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra el mismo punto donde se cruzan los tres círculos. Los cálculos necesarios se pueden realizar en una fracción de segundo en cualquier computadora, teléfono celular o receptor de GPS. Sin la geometría analítica de Descartes serían impensables las aplicaciones modernas de la trilateración. Sin embargo, las bases geométricas del método son más intuitivas y más fáciles de comprender y aplicar. En el examen tendrán la oportunidad de localizar con el método geométrico un teléfono celular, un receptor GPS, un sismo, y hasta un rayo. El planteamiento analítico lo dejaremos para otra ocasión.

TRILATERACIÓN: LA CLAVE SON LAS DISTANCIAS

Tanto el método geométrico como el analítico requieren de dos cosas para poder aplicarse. Primero, se necesitan las posiciones de los tres puntos de referencia. En un mapa estos tres puntos se representan simplemente como eso, como tres puntos en un mapa, como en la Figura 1. Si se va a utilizar el método analítico se necesitan las coordenadas (x1,y1), (x2,y2) y (x3,y3). Sin embargo, como dijimos anteriormente no utilizaremos el método analítico en esta ocasión. De cualquier forma, estos puntos de referencia se conocen muy bien. En el caso de teléfonos celulares estos puntos corresponden a las localizaciones de las antenas que se comunican con los celulares. En el caso de los receptores de GPS los puntos de referencia son las posiciones en el espacio de los satélites diseñados para tal fin. Por su parte, para la localización de sismos los puntos son las localizaciones de las estaciones sismológicas que registran los movimientos telúricos. En el último ejemplo que veremos, el de los rayos, las referencias son también estaciones o equipos especializados que reciben señales de los rayos. En todos los casos los tres puntos de referencia están muy bien localizados porque se sabe donde se instalaron.

La otra cosa que se necesita para localizar un objeto mediante trilateración es conocer la distancia a cada uno de los puntos de referencia. ¿Cómo se calculan estas distancias? La respuesta es variada. En el caso de las antenas para celulares y de los satélites del GPS se utilizan señales que envían las antenas mismas y los satélites. Antenas y satélites envían una señal desde tres puntos diferentes y en el receptor se calcula la posición. En los otros dos casos, en el de los sismos y los rayos, la situación es al revés. El objeto que se desea localizar es el que envía la señal y los puntos de referencia son los que la reciben. En estos casos los puntos de referencia son los que calculan la posición del objeto, ya sea un sismo o un rayo. En lo que sigue veremos cada caso en particular en lo relativo a cómo se calculan las distancias, y cómo se han superado algunas dificultades para que las localizaciones sean confiables.

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Unión Geofísica Mexicana, A.C.